图形学笔记丨02 Review of Linear Algebra

Graphics’ Dependencies

Basic mathematics
- Linear algebra, calculus, statistics（线性代数、微积分、统计）
Basic physics
- Optics, Mechanics（光学、力学）
Misc
- Signal processing（信号处理）
- Numerical analysis（数值分析）
And a bit of aesthetics（美学）

Vectors

一个向量通常写做一个字母加一个在其上方从左指向右的箭头，或者是用加粗的字母表示a。也可以用起点和终点加上箭头来表示，AB = B - A，即从点A指向点B，用B点坐标减去A点坐标。向量是由长度和方向组成的，它没有一个绝对的开始位置，如果对向量进行平移实际上他仍然是相等的向量。

一个向量的长度用||a||表示，利用向量的长度我们可以获得单位向量：u = a / ||a||，我们可以用单位向量来表示方向，不关心它的长度。

Vector Addition（向量加法）

分为平行四边形法则和三角形法则，不过殊途同归，计算的结果是一样的。平行四边形法则，对于向量a和向量b我们都可以任意的移动，然后将a和b都进行一定的平移，使得他们围成一个平行四边形，红线就是计算的结果。三角形法则，我们要将向量相加，就将他们首尾相连拼接起来，最后形成的最开始和最后就是计算的结果，这个也同样适用于多个向量相加。

以上是在几何上理解向量相加，在数学上向量相加，就是将他们的坐标给加起来。

cartesian coordinates（笛卡尔坐标）

在坐标系下描述一个向量，我们永远认为这个向量从(0, 0)开始，X是向右的单位向量，Y是向上的单位向量，一个向量是多少，就由几个X加上几个Y来表示，通常它们是互相垂直的单位向量。如上图所示，这样的话，我们就可以直接用A^⊤ = (4, 3)来表示这个向量。这里有一点，在图形学，默认向量是一个列向量。在此基础上，计算向量的长度也会很简单，公式如图右下角所示。

Dot（scalar） Product（点积）

点乘的计算如图所示，这里的θ是两个向量之间的夹角。两个向量点乘的结果是一个数字（标量），其实向量的点乘可以方便计算这个θ角。

首先我们来看点乘满足的规律：

也就是说，点乘满足交换律、分配率、结合律。

点乘的计算在坐标系中是很好计算的：

也就是对应的坐标相乘然后加起来。所以，上文提到的计算夹角就十分简单了。

这里，点乘除了方便计算夹角，还可以找到一个向量投影到另一个向量上的向量。

将b投影到a上，就是说假设有一束平行光，垂直于a向量照射过来，那么b向量会投射一个阴影在a向量上，这一段就把他叫做b在a上的投影。

我们知道了b_⊥怎么算，另外一个方向也可以知道。这里的减法其实就是加上原来反方向的向量。

在图形学中，我们还可以利用点乘计算两个向量的方向有多接近，以及计算两个向量方向的关系。

计算向量方向的关系

如果点乘计算的结果＞0，表示方向基本一致，=0表示方向垂直，<0表示方向基本相反。同时，这两个向量越接近，点乘的结果越接近1，越远离，结果越接近-1。

Cross Product（叉积）

叉乘的计算如图所示，这里的Φ是两个向量之间的夹角。两个向量点乘的结果是一个向量，这个结果向量和原来计算的两个向量都要垂直，所以它一定和原来的向量不在一个平面内。这里图中只写了叉乘的大小的计算，方向的计算是如何决定的？这里要用到一个叫做右手定则的东西，有两种形式。第一种是伸出右手的拇指食指中指，会摆成一个垂直的样子；这里介绍另一种，右手螺旋定则。四指的方向表示旋转的方向，也就是从a旋转到b的方向，拇指的方向也就是叉乘得到的结果的方向。

我们在坐标系中看一下叉乘的结果以及满足的规律：

并且我们说对于满足上图左侧结果中的，是一个右手坐标系，在本门课程中都假设是一个右手坐标系，但是在OpenGL或者说其他API中可能是一个左手坐标系，也就是。

对于上图右侧的规律，叉乘是没有交换律的，交换之后叉乘的结果不同。另外，两个向量叉乘得结果是零向量，因为它们之间的夹角为0，所以对应的正弦值算出来的长度为0，不过他依旧是一个向量。

向量的叉乘可以表示成矩阵形式。

在向量中，利用叉乘我们可以判断左和右以及内与外。

例如上图中的左图，我们想知道b向量在a向量的左侧还是右侧，我们利用a叉乘b，如果结果的z是正的，那就说明b在a的左侧（逆时针旋转小于180°可以与另一个向量的方向一致），否则在右侧。

上图中的右图，有一个P点，我们想知道它是不是在三角形的内部。我们可以做叉积，首先是AB和AP的叉积，计算出来AP在AB的左侧，BC叉乘BP得到BP依旧在BC的左侧，最后看CA叉乘CP，得到还是在CA的左侧，所以我们知道P点在三角形的内部。这里三角形三条边的绕向不重要，只要遵循同一个绕的方向，得到结果都是在同一侧即可说明在三角形内部。这一点十分重要，我们后面在给三角形光栅化的时候，就要判断某个像素点是否在三角形内部。如果计算得到的结果是0，在图形学里面，是算作三角形内部还是外部（corner case）是由自己决定。