Scale（缩放）
缩放可以对x和y采取相同的缩放比例，也可以不同。
Reflection（对称）
Shear（剪切）
这里是水平方向上的切变。
Rotation（旋转）
这里是二维的旋转，并且我们默认它是绕着原点旋转，逆时针方向旋转。θ也就是默认为逆时针旋转的方向。
推导过程：
并以此类推，计算出所有的参数。
Linear Transformations（线性变换）
如果一个变换可以写成一个矩阵去乘输入的坐标，得到变换后的坐标，这个变换就是线性变换。上述介绍的几种变换都是线性变换。
Homogeneous coordinates（齐次坐标）
为什么要引入齐次坐标？有一种变换非常特殊：平移变换。
我们会发现，它的变换非常简单，但是我们不可以像刚刚一样写成一个和矩阵相乘的形式了。我们只能写成：
所以，平移变换不是一个线性变换。但我们并不像为平移变换引入一种特殊的表示方式，我们希望的是将它们用同一种计算方法来表示。因此引入了齐次坐标的形式。
我们可以给二维的点和向量增加一个维度，增加的维度表示方式如下：
- 2D point = (x, y, 1)⊤
- 2D vector = (x, y, 0)⊤
这样的话，我们可以定义平移变换的计算如下：
并且其他的变换也可以用这种形式表示。这里对于点和向量加上0或1也有其各自的原因，由于向量具有平移不变性，所以我们不希望它经过变换之后，发生了改变，因此这里向量最后一位是填0。
更深层次的一个理解是，在一个空间里面，一个向量加上一个向量遵循三角形法则，并且对应的坐标相加，也就是最后一位还是0。而如果空间中有一个点的坐标减去令一个点的坐标表示向量，那么得到的向量最后一位是0保持了原本的属性。一个点加上一个向量表示沿着向量移动，其最后一位也保持为1。所以在这些操作下，我们通过0或1的扩充，保留了他们原来的定义。
在此基础上，我们还可以扩充点加上的点的定义。首先，如下图所示：
在齐次坐标下，我们可以通过这种方式来表示一个点，无论w为何值都可以通过同除以w来表示同一个点，那么这个时候点和点相加，就会令w = 2，所以化为w = 1的形式时，也就是原来两点的中点。
上文的线性变换是一种仿射变换，通过齐次坐标，我们可以将它们都写成一个矩阵乘一个向量的形式，统一了所有的操作。
可以看到，平移永远是写在最后一列的前两个数上，左上角的2×2矩阵则是原来的线性变换，最后一行永远都是0, 0, 1。
Inverse Transform（逆变换）
逆变换也就是原来的变换矩阵的逆矩阵。这一点也很好理解，一个矩阵乘它的逆矩阵会变成单位矩阵，也就是做了一个变换之后，再做一个逆变换，就变回了原来的样子。
Composite Transform（组合变换）
对于这个复杂变换，我们可以通过一系列的简单变换来做到。例如这个图中，我们可以先做一个逆时针旋转45°的变换，再做一个平移变换。但是我们不可以先平移再做上面提到的旋转，因为这个旋转是绕原点的。所以说，变换组合起来的顺序不一样，得到的结果也就不一样。这个可以通过矩阵的乘法来理解，变换就是在某一个向量前面乘一个矩阵，所以再变换就再乘一次，也就是说矩阵乘的顺序调换了，结果就不一样了，这是显然的，因为矩阵乘法不遵循交换律。
并且这里要注意，做对应的变换是左乘上这个变换的矩阵。也就是说会对所有的变换矩阵从右到左的去执行。
这个概念是可以推广的，当我们对一个点做相当多的变换，其表现形式如下：
并且，我们可以利用矩阵的结合律，将一系列的矩阵相乘结合乘一个矩阵去做每一个计算。这里得到的最终矩阵，就是这么多变换的统一，并且矩阵的大小依然是3×3。
我们也可以用变换的分解，来实现绕着非原点的某一个点去旋转。
我们可以先对所有的点做一个点C到原点的平移变换，这时左乘一个旋转矩阵，然后我们再做一个一开始的平移的逆变换，就实现了这个过程。
3D Transforms
其实三维空间的变换，是对二维变换的类比，不过是多了一维的表达。依旧采取的是齐次坐标，这里就是用四个数来表示空间中的点或向量。如下图所示：
使用一个4×4的矩阵来兼容仿射变换：
最后一行永远是0, 0, 0, 1，最后一列的前三位表示位移，左上角的3×3矩阵则表示3维空间下的线性变换。
并且和2维空间一样，是先做线性变换，再做平移。